Soient ABC de sommets A ( 1 , 1 ) , B ( 4 , 1 ) , C ( 1 , 5 ) , et h l'homothétie de centre A et rapport 2 . Déterminer B ′ = h ( B ) et C ′ = h ( C ) . Calculer l'aire de A B C puis celle de A B ′ C ′ . Vérifier que Aire ( A B ′ C ′ ) = 4 ⋅ Aire ( A B C ) .

Triangles par homothétie

Difficile

Énoncé

Soient ABC de sommets $A (1, 1)$ , $B (4, 1)$ , $C (1, 5)$ , et $h$ l'homothétie de centre $A$ et rapport $2$ .

Déterminer $B^{'} = h (B)$ et $C^{'} = h (C)$ .
Calculer l'aire de $A B C$ puis celle de $A B^{'} C^{'}$ . Vérifier que $Aire (A B^{'} C^{'}) = 4 \cdot Aire (A B C)$ .

Indices

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1 Indice 1

Utilise la définition de l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k$ : $\overrightarrow{AM'} = k\overrightarrow{AM}$, avec les coordonnées.

2 Indice 2

Pour l'aire de $ABC$, remarque que le triangle est rectangle en $A$ (les côtés $AB$ et $AC$ sont parallèles aux axes).

3 Indice 3

Pour l'aire de $AB'C'$, utilise les nouvelles coordonnées de $B'$ et $C'$ trouvées en 1, ou directement la propriété $\text{Aire}(AB'C') = k^2 \cdot \text{Aire}(ABC)$.

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Utilise la définition de l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k$ : $A M^{'} = k A M$ , avec les coordonnées.

Pour l'aire de $A B C$ , remarque que le triangle est rectangle en $A$ (les côtés $A B$ et $A C$ sont parallèles aux axes).

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