Énoncé Soit A B C D un parallélogramme et I le point défini par : A I = 4 1 A B Soit h l'homothétie de centre I et de rapport k qui transforme A en B . Montrer que k = − 3 . Soit E le point d'intersection des droites ( A D ) et ( I C ) . Montrer que h ( E ) = C . En déduire que B C = 3 A E . On pose D ′ = h ( D ) . Montrer que les points B , C et D ′ sont alignés.

Homothétie de rapport négatif dans un parallélogramme

Difficile

Énoncé

Soit $A B C D$ un parallélogramme et $I$ le point défini par :

$A I = \frac{1}{4} A B$

Soit $h$ l'homothétie de centre $I$ et de rapport $k$ qui transforme $A$ en $B$ .

Montrer que $k = - 3$ .
Soit $E$ le point d'intersection des droites $(A D)$ et $(I C)$ .
- Montrer que $h (E) = C$ .
- En déduire que $B C = 3 A E$ .
On pose $D^{'} = h (D)$ . Montrer que les points $B$ , $C$ et $D^{'}$ sont alignés.

Indices

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1 Indice 1

Exprime $\\overrightarrow{AI}$ en fonction de $\\overrightarrow{AI}$ et $\\overrightarrow{IB}$, puis utilise la relation caractéristique d'une homothétie $\\overrightarrow{IB}=k\\overrightarrow{IA}$.

2 Indice 2

Pour trouver l'image de la droite $(AD)$, utilise le fait qu'une homothétie transforme une droite en une droite parallèle passant par l'image d'un de ses points ; combine avec le parallélisme $(AD)\\parallel(BC)$ dans le parallélogramme.

3 Indice 3

Utilise la propriété $\\overrightarrow{h(M)h(N)}=k\\,\\overrightarrow{MN}$ pour relier les longueurs, et rappelle-toi qu'une homothétie conserve l'alignement des points.

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Exprime $o v er r i g h t a r r o w A I$ en fonction de $o v er r i g h t a r r o w A I$ et $o v er r i g h t a r r o w I B$ , puis utilise la relation caractéristique d'une homothétie $o v er r i g h t a r r o w I B = k o v er r i g h t a r r o w I A$ .

Pour trouver l'image de la droite $(A D)$ , utilise le fait qu'une homothétie transforme une droite en une droite parallèle passant par l'image d'un de ses points ; combine avec le parallélisme $(A D) p a r a l l e l (B C)$ dans le parallélogramme.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Homothétie de rapport négatif dans un parallélogramme

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