Homothétie et alignement d'un triangle

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Soit un triangle et le milieu du segment . On considère les points et définis par :

On note le milieu de et l'homothétie de centre et de rapport .

  1. Montrer que .
  2. En utilisant l'homothétie , montrer que les points , et sont alignés.

Indices

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1 Indice 1
Pour la première question, remarque que les égalités données signifient que $B'$ et $C'$ sont les images de $B$ et $C$ par l'homothétie $h$. Utilise la relation de Chasles en écrivant $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{B'A} + \overrightarrow{AC'}$.
2 Indice 2
Pour l'alignement, demande-toi quelle est l'image du milieu $I$ de $[BC]$ par l'homothétie $h$. Une homothétie transforme le milieu d'un segment en milieu de l'image de ce segment. Que peux-tu en déduire sur les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AJ}$ ?

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La méthode — par où commencer

Pour la première question, remarque que les égalités données signifient que et sont les images de et par l'homothétie . Utilise la relation de Chasles en écrivant .

Pour l'alignement, demande-toi quelle est l'image du milieu de par l'homothétie . Une homothétie transforme le milieu d'un segment en milieu de l'image de ce segment. Que peux-tu en déduire sur les vecteurs et ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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