📄 Mémento 2ème Bac SM

y' Équations différentielles

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Ordre 1 — y' = ay

Solution générale : y = C· $e^{a}$ ˣ (C ∈ ℝ)

Ex : y'=2y → y=C

e^{2 x}

Ordre 1 — y' = ay + b

Chercher solution particulière $y_{p}$ =k (constante), puis y=C $e^{a x}$ +k

Ordre 1 — y' + py = q

Solution homogène : $y_{h}$ = C $e^{- p x}$ . Ajouter $y_{p}$ .

Ordre 2 — y''+ py' + qy = 0

Équation caractéristique : r²+pr+q=0. Selon Δ : 2 racines réelles, racine double, ou complexes.

Δ > 0 (r₁≠r₂ réels)

y = C₁ $e^{r_{1} x}$ + C₂ $e^{r_{2} x}$

Δ = 0 (racine double r₀)

y = (C₁ + C₂x) $e^{r_{0} x}$

Δ < 0 (r = α±iβ)

y = $e^{α x}$ (C₁cos(βx) + C₂sin(βx))

🪜La méthode-type

Identifier le type d'équation : du premier ordre $y^{'} = a y + b$ , ou du second ordre $y^{''} + ω^{2} y = 0$ .
Pour $y^{'} = a y$ , la solution générale est $y (x) = K e^{a x}$ avec $K \in R$ .
Pour $y^{'} = a y + b$ (avec $a \neq = 0$ ), chercher la solution particulière constante $y_{p} = - \frac{b}{a}$ et additionner : $y (x) = K e^{a x} - \frac{b}{a}$ .
Pour $y^{''} + ω^{2} y = 0$ , écrire la solution générale $y (x) = A cos (ω x) + B sin (ω x)$ .
Traduire les conditions initiales (valeurs de $y$ , $y^{'}$ en un point) en équations sur les constantes.
Résoudre le système pour déterminer les constantes, puis écrire la solution finale unique.

⚠️Pièges à éviter

💡

À retenir

Toujours vérifier la solution en la réinjectant dans l'équation différentielle.

✍️Exercice-type

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y^{'} = 2 y + 6$ avec la condition initiale $y (0) = 1$ .

Voir le corrigé ▾

Ici $a = 2$ et $b = 6$ . La solution particulière constante est $y_{p} = - \frac{b}{a} = - \frac{6}{2} = - 3$ .

La solution générale est donc $y (x) = K e^{2 x} - 3$ , avec $K \in R$ .

Condition initiale : $y (0) = K - 3 = 1$ donc $K = 4$ .

D'où la solution unique : $y (x) = 4 e^{2 x} - 3$ .

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