📄 Mémento 2ème Bac SM

⚙️ Structures algébriques

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Groupe (G,★)

① Fermeture ② Associativité ③ Élément neutre e ④ Tout élément a un symétrique (inverse)

Groupe commutatif (abélien)

Groupe + ∀a,b : a★b = b★a

Anneau (A,+,×)

(A,+) groupe abélien + × associatif + × distributif sur + | Si × commutatif → anneau commutatif

Corps (K,+,×)

Anneau commutatif + tout élément non nul est inversible pour ×

Sous-groupe

H ≤ G ⇔ H≠∅ et ∀a,b∈H : a★b⁻¹∈H

Morphisme de groupes

f:(G,★)→(H,△) est un morphisme si f(a★b) = f(a)△f(b) ∀a,b∈G

Espace vectoriel

(E,+) groupe abélien + multiplication scalaire · vérifiant : λ(u+v)=λu+λv · (λ+μ)u=λu+μu · (λμ)u=λ(μu) · 1·u=u

Sous-espace vectoriel

F ⊂ E est un sev si : 0∈F · ∀u,v∈F, u+v∈F · ∀λ∈K, ∀u∈F, λu∈F

Famille libre/génératrice

Libre : Σ $λ_{i} v_{i}$ =0 ⇒  $λ_{i}$ =0. Génératrice : tout vecteur est combinaison linéaire. Base = libre + génératrice.

🪜La méthode-type

Identifier l'ensemble $E$ et la loi $*$ ; vérifier d'abord la stabilité : $\forall (x, y) \in E^{2}, x * y \in E$ .
Tester l'associativité : $\forall (x, y, z), (x * y) * z = x * (y * z)$ .
Chercher l'élément neutre $e$ tel que $\forall x, x * e = e * x = x$ .
Déterminer le symétrique de chaque $x$ : trouver $x^{'}$ tel que $x * x^{'} = e$ ; si tout élément est symétrisable, $(E, *)$ est un groupe.
Vérifier la commutativité ( $x * y = y * x$ ) pour conclure groupe abélien.
Pour un anneau/corps : vérifier les deux lois $(+, \times)$ , la distributivité, l'unité, puis l'inversibilité de tout élément non nul (corps).

⚠️Pièges à éviter

Vérifier la fermeture en premier (l'opération doit rester dans l'ensemble)
L'élément neutre est UNIQUE dans un groupe
Sous-espace vectoriel : toujours vérifier que $0$ ∈ F (sinon F n'est pas un sev)
Corps : division par 0 interdite — vérifier que le dénominateur est non nul

💡

À retenir

Méthode isomorphisme : montrer bijectif + morphisme. Isomorphisme ⇒ même structure algébrique.

✍️Exercice-type

Sur $R$ on définit $x * y = x + y - 3$ . Montrer que $(R, *)$ est un groupe abélien.

Voir le corrigé ▾

Stabilité : $x * y = x + y - 3 \in R$ . ✓

Associativité : $(x * y) * z = (x + y - 3) + z - 3 = x + y + z - 6$ ; de même $x * (y * z) = x + (y + z - 3) - 3 = x + y + z - 6$ . ✓

Neutre : $x * e = x ⟺ x + e - 3 = x ⟺ e = 3$ . ✓

Symétrique : $x * x^{'} = 3 ⟺ x + x^{'} - 3 = 3 ⟺ x^{'} = 6 - x \in R$ . ✓

Commutativité : $x * y = x + y - 3 = y + x - 3 = y * x$ . ✓

Donc $(R, *)$ est un groupe abélien de neutre $3$ .

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