📄 Mémento 2ème Bac SM

ln / eˣ Fonctions logarithme et exponentielle

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

ln — Propriétés

ln(ab) = ln(a)+ln(b) · ln(a/b) = ln(a)−ln(b) · ln(aⁿ) = n×ln(a)

ln(e) = 1

ln(1) = 0 · ln(e) = 1 · $e^{l n (x)}$ = x (x>0)

Exponentielle

$e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ · $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ · $(e^{a})^{b} = e^{ab}$

Croissance comparée

$lim x^{n} e^{x} = + \infty \cdot lim e^{x} / x^{n} = + \infty \cdot lim x^{n} ln x = 0^{+}$

🪜La méthode-type

Déterminer l'ensemble de définition : pour $ln (u)$ imposer $u > 0$ .
Résoudre équations/inéquations en utilisant la stricte croissance de $ln$ et $exp$ et les propriétés ( $ln (ab) = ln a + ln b$ , $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ ).
Dériver avec $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ et $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , puis étudier le signe de $f^{'}$ .
Lever les indéterminations à l'aide des croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ , $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ .
Dresser le tableau de variations et tracer la courbe en repérant asymptotes et points remarquables.

⚠️Pièges à éviter

ln est défini UNIQUEMENT pour x > 0
ln(a+b) ≠ ln(a) + ln(b) — erreur classique !

💡

À retenir

Pour résoudre eˣ = k → x = ln(k) · Pour ln(x) = k → x = $e^k$

✍️Exercice-type

1) Résoudre dans

R

l'équation

ln (x + 1) + ln (x - 1) = ln 3

.
2) Calculer

x \to + \infty lim (x - ln x)

Voir le corrigé ▾

1) Domaine : $x > 1$ . L'équation s'écrit $ln ((x + 1) (x - 1)) = ln 3$ , soit $x^{2} - 1 = 3$ , donc $x^{2} = 4$ et $x = 2$ (on rejette $- 2$ ). Solution : $x = 2$ .

2) $x - ln x = x (1 - \frac{ln x}{x})$ . Or $\frac{ln x}{x} \to 0$ , donc le facteur tend vers $1$ et $x \to + \infty$ : $x \to + \infty lim (x - ln x) = + \infty$ .

🎯

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