📄 Mémento 2ème Bac SM

ℂ Nombres complexes

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Forme algébrique

z = a + ib (a = Re(z), b = Im(z), i² = −1)

Module

|z| = $a^{2} + b^{2}$ | |z·z'| = |z|·|z'| | |z/z'| = |z|/|z'|

Conjugué

$\overline{z}$ = a − ib | z· $\overline{z}$ = |z|² | Re(z) = (z+ $\overline{z}$ )/2

Forme trigonométrique

z = r(cosθ + i·sinθ) où r = |z|, θ = arg(z)

Forme exponentielle

z = r· $e^{i θ}$ (formule d'Euler : $e^{i θ}$ = cosθ + i·sinθ)

Multiplication

r· $e^{i θ}$ × r'· $e^{i θ^{'}}$ = rr'· $e^{i (θ + θ^{'})}$ → modules ×, arguments +

Formule de Moivre

(cosθ + i·sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ)

Racines nièmes

zⁿ = a → n racines : $z_{k}$ = $r^{1/ n}$ · $e^{i (θ + 2 k π) / n}$ , k=0..n−1

🪜La méthode-type

Identifier la forme adaptée : algébrique $z = x + i y$ pour sommes/parties réelle et imaginaire, exponentielle $z = r e^{i θ}$ pour produits, puissances et racines.
Calculer le module $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ et un argument $θ$ tel que $cos θ = \frac{x}{∣ z ∣}$ et $sin θ = \frac{y}{∣ z ∣}$ .
Pour une équation du second degré $a z^{2} + b z + c = 0$ , calculer $Δ$ et écrire $z = \frac{- b \pm δ}{2 a}$ avec $δ^{2} = Δ$ .
Pour la géométrie, traduire avec les affixes : $A B$ a pour affixe $z_{B} - z_{A}$ , et $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ donne longueurs et angles.
Interpréter : $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ réel $\Rightarrow$ alignement, imaginaire pur $\Rightarrow$ orthogonalité, module $1$ et argument $\frac{π}{2}$ $\Rightarrow$ triangle rectangle isocèle.
Conclure géométriquement (nature du triangle, rotation d'angle $ar g$ , similitude) et vérifier la cohérence des résultats.

⚠️Pièges à éviter

arg(z·z') = arg(z) + arg(z') modulo 2π — ne pas oublier le modulo
|z + z'| ≤ |z| + |z'| (inégalité triangulaire)
Pour diviser : multiplier par le conjugué du dénominateur

💡

À retenir

Points dans le plan : M(z) → affixe z = x + iy. Distance : |z₂ − z₁| = M₁M₂

✍️Exercice-type

On considère $a = 1 + i$ et $b = 3 + i$ .

1) Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle.

2) En déduire la forme exponentielle de $z = \frac{b}{a}$ , puis les valeurs exactes de $cos \frac{π}{12}$ et $sin \frac{π}{12}$ .

Voir le corrigé ▾

1) $∣ a ∣ = 2$ et $ar g (a) = \frac{π}{4}$ donc $a = 2 e^{i \frac{π}{4}}$ .
$∣ b ∣ = 2$ et $ar g (b) = \frac{π}{6}$ donc $b = 2 e^{i \frac{π}{6}}$ .

2) $z = \frac{b}{a} = \frac{2}{2} e^{i (\frac{π}{6} - \frac{π}{4})} = 2 e^{- i \frac{π}{12}}$ .

Par ailleurs $z = \frac{b}{a} = \frac{( 3 + i ) ( 1 - i )}{( 1 + i ) ( 1 - i )} = \frac{( 3 + 1 ) + ( 1 - 3 ) i}{2}$ .

Donc $2 cos \frac{π}{12} = \frac{3 + 1}{2}$ d'où $cos \frac{π}{12} = \frac{6 + 2}{4}$ , et $2 sin \frac{π}{12} = \frac{3 - 1}{2}$ d'où $sin \frac{π}{12} = \frac{6 - 2}{4}$ .

🎯

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Des exercices corrigés sur ce chapitre t'attendent

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