📄 Mémento 2ème Bac SM

≤ Inégalités classiques (BAC & Olympiades)

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Inégalité triangulaire

|a + b| ≤ |a| + |b| · ||a| − |b|| ≤ |a − b|

Ex : Outil clé pour les modules et complexes

AM-GM (2 réels)

(a + b)/2 ≥ $ab$ pour a,b ≥ 0 · égalité ⇔ a = b

AM-GM (n réels)

(a₁+a₂+…+ $a_{n}$ )/n ≥ (a₁·a₂·…· $a_{n}$ )^(1/n) pour $a_{i}$ ≥ 0

Moyenne quadratique

$(a^{2} + b^{2}) /2$ ≥ (a+b)/2 ≥ $ab$ ≥ 2/(1/a+1/b) (QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM)

Cauchy-Schwarz (2 var.)

(ac + bd)² ≤ (a²+b²)(c²+d²) · égalité ⇔ a/c = b/d

Ex : Ou : (Σ

a_{i} b_{i}

)² ≤ (Σ

a_{i}

²)(Σ

b_{i}

²)

Cauchy-Schwarz (3 var.)

(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)² ≤ (a₁²+a₂²+a₃²)(b₁²+b₂²+b₃²)

Chebyshev

Si a₁≥a₂≥…≥ $a_{n}$  et b₁≥b₂≥…≥ $b_{n}$  : n·Σ $a_{i} b_{i}$  ≥ (Σ $a_{i}$ )(Σ $b_{i}$ )  ·  inégalité renversée si ordres opposés

Inégalité de Bernoulli

(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx pour x ≥ −1 et n ∈ ℕ · égalité ⇔ x=0 ou n=1

🪜La méthode-type

Identifier la forme : somme/produit (AM-GM), produit scalaire ou sommes de carrés (Cauchy-Schwarz), fonction (convexité/Jensen).
AM-GM : pour $x_{i} \geq 0$ , $\frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n} \geq n x_{1} \dots x_{n}$ , égalité si tous égaux.
Cauchy-Schwarz : $(\sum a_{i} b_{i})^{2} \leq (\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{i}^{2})$ , égalité si proportionnels.
Convexité : si $f^{''} \geq 0$ , $f$ convexe ; Jensen $f (\frac{\sum x _{i}}{n}) \leq \frac{\sum f ( x _{i} )}{n}$ .
Normaliser/homogénéiser si besoin, ou poser une substitution pour ramener à une inégalité connue.
Justifier le cas d'égalité et conclure proprement.

⚠️Pièges à éviter

AM-GM : valable UNIQUEMENT pour des réels positifs ou nuls
Cauchy-Schwarz : l'égalité a lieu quand les vecteurs sont colinéaires (a/c = b/d)
Chebyshev : l'inégalité s'INVERSE si les deux suites sont dans des ordres OPPOSÉS (l'une croissante et l'autre décroissante)
|ab| = |a|·|b| mais |a+b| ≤ |a|+|b| (pas égalité en général)

💡

À retenir

Technique olympiade : pour minimiser/maximiser une expression, identifier quelle inégalité donne l'égalité avec les conditions du problème (AM-GM si produit, Cauchy-Schwarz si somme de produits).

✍️Exercice-type

Soient $a, b, c > 0$ . Montrer que $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3$ .

Voir le corrigé ▾

On applique l'inégalité AM-GM aux trois réels positifs $\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}$ :

$\frac{1}{3} (\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}) \geq 3 \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = 31 = 1.$

D'où $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3$ , avec égalité si et seulement si $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$ , c'est-à-dire $a = b = c$ .

🎯

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