📄 Mémento Tronc Commun

⊢ Logique & Connecteurs

Tout le chapitre sur une page : formules, méthode, pièges. À lire 5 min avant un contrôle.

📐Formules clés

Négation ¬

¬P est vraie ⇔ P est fausse · ¬(¬P) = P

Conjonction ∧

"P et Q" vraie ⇔ P vraie ET Q vraie

Disjonction ∨

"P ou Q" vraie ⇔ P vraie OU Q vraie (ou les deux — inclusif !)

Implication ⇒

P ⇒ Q fausse UNIQUEMENT si P vraie et Q fausse · Si P fausse → implication toujours vraie

Équivalence ⇔

P ⇔ Q vraie ⇔ P et Q même valeur de vérité · double implication

Contraposée

P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P (strictement équivalent)

Lois de De Morgan

¬(P∧Q) = ¬P∨¬Q · ¬(P∨Q) = ¬P∧¬Q

Quantif. universel

∀x∈E, P(x) : P(x) vraie pour TOUT x de E · Nier : ∃x∈E, ¬P(x)

Quantif. existentiel

∃x∈E, P(x) : il existe AU MOINS un x · ∃!x : unique · Nier : ∀x∈E, ¬P(x)

⚠️Pièges à éviter

Le "ou" mathématique est INCLUSIF — "P ou Q" vraie même si P et Q sont toutes deux vraies
"ou exclusif" (XOR) se dit "ou bien" en maths
P ⇒ Q avec P fausse est TOUJOURS vraie (ex : "1=0 ⇒ 3²=9" est vraie !)
Réciproque (Q⇒P) n'est PAS équivalente à (P⇒Q) — seule la contraposée l'est
Nier ∀x : il suffit d'un contre-exemple · Nier ∃x : il faut montrer ∀x,¬P(x)

💡

À retenir

P⇒Q ≡ ¬Q⇒¬P (contraposée). Pour nier un quantificateur : ¬(∀x,P) = ∃x,¬P et ¬(∃x,P) = ∀x,¬P

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