Montrer que pour tout n ∈ Z , n 2 ≡ 0 ou 1 [4]. En déduire qu'aucun nombre de la forme 4 k + 3 ( k ∈ N ) n'est somme de deux carrés. Application : l'entier 2023 peut-il s'écrire comme somme de deux carrés ?

Résidus quadratiques et petit Fermat (cas)

Difficile

Montrer que pour tout $n \in Z$ , $n^{2}$ ≡ 0 ou 1 [4].
En déduire qu'aucun nombre de la forme $4 k + 3$ ( $k \in N$ ) n'est somme de deux carrés.
Application : l'entier 2023 peut-il s'écrire comme somme de deux carrés ?

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1 Indice 1

Distingue les cas $n$ pair ($n=2m$) et $n$ impair ($n=2m+1$) puis calcule $n^2$ modulo 4 dans chaque cas.

2 Indice 2

Si $N=a^2+b^2$, chaque carré vaut 0 ou 1 modulo 4 : liste les sommes possibles pour en déduire les restes atteignables.

3 Indice 3

Calcule le reste de la division de 2023 par 4 et compare-le aux restes trouvés à la question précédente.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Distingue les cas $n$ pair ( $n = 2 m$ ) et $n$ impair ( $n = 2 m + 1$ ) puis calcule $n^{2}$ modulo 4 dans chaque cas.

Si $N = a^{2} + b^{2}$ , chaque carré vaut 0 ou 1 modulo 4 : liste les sommes possibles pour en déduire les restes atteignables.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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