Premiers p > 3 : p ≡ 1[6] ou p ≡ 5[6], et p² ≡ 1[24]

Difficile
Partager

Énoncé

  1. Montrer que si est un nombre premier, alors ou .
  2. En déduire que .
  3. Montrer de plus que pour tout premier .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Examine tous les restes possibles modulo $6$ (de $0$ à $5$) et élimine ceux qui impliquent que $p$ est divisible par $2$ ou $3$.
2 Indice 2
Pour la question 2, distingue les deux cas $p\\equiv 1[6]$ et $p\\equiv 5[6]$ et calcule $p^2$ modulo $12$ dans chaque cas.
3 Indice 3
Pour la question 3, écris $p=2m+1$ (p impair) pour étudier $p^2$ modulo $8$, puis combine avec le résultat modulo $3$ en utilisant le théorème des restes chinois (ou pgcd).

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Examine tous les restes possibles modulo (de à ) et élimine ceux qui impliquent que est divisible par ou .

Pour la question 2, distingue les deux cas et et calcule modulo dans chaque cas.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Résidus quadratiques et petit Fermat (cas) Tous les exercices du chapitre BAC — Paires (a,b) avec a+b=100 et pgcd(a,b)=4