BAC — Paires (a,b) avec a+b=100 et pgcd(a,b)=4

Difficile
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Énoncé

(Type BAC) On cherche tous les couples d'entiers naturels (a, b) avec a b tels que a + b = 100 et pgcd(a, b) = 4.

  1. Poser a = 4 et b = 4. Quelle relation vérifient et ?
  2. Quelle condition pgcd(, ) doit vérifier ?
  3. Trouver toutes les paires (, ) et en déduire toutes les paires (a, b).

Indices

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1 Indice 1
Puisque $\\gcd(a,b)=4$, les deux nombres $a$ et $b$ sont multiples de 4. Écris $a=4\\alpha$ et $b=4\\beta$, puis remplace dans $a+b=100$ pour obtenir une équation simple sur $\\alpha+\\beta$.
2 Indice 2
Utilise la propriété $\\gcd(4\\alpha,4\\beta)=4\\cdot\\gcd(\\alpha,\\beta)$. Comme on veut $\\gcd(a,b)=4$ exactement, que doit valoir $\\gcd(\\alpha,\\beta)$ ?
3 Indice 3
Avec $\\alpha+\\beta=25$ et $\\alpha\\le\\beta$, teste les valeurs de $\\alpha$ de 1 à 12 et vérifie à chaque fois si $\\gcd(\\alpha,25-\\alpha)=1$.

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La méthode — par où commencer

Puisque , les deux nombres et sont multiples de 4. Écris et , puis remplace dans pour obtenir une équation simple sur .

Utilise la propriété . Comme on veut exactement, que doit valoir ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Premiers p > 3 : p ≡ 1[6] ou p ≡ 5[6], et p² ≡ 1[24] Tous les exercices du chapitre Quatre divisions euclidiennes (257, -257, 1000, 2025)