Médianes d'un triangle

Facile
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Énoncé

Soit ABC un triangle, A' milieu de [BC], B' milieu de [AC], G le centre de gravité.

  1. Montrer, par associativité, que G, A et A' sont alignés et que .
  2. En déduire que les trois médianes sont concourantes en G.

Indices

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1 Indice 1
Commence par exprimer le centre de gravité $G$ comme barycentre des trois sommets, puis remarque que le milieu $A'$ est lui-même un barycentre de deux sommets. Pense à utiliser l'associativité des barycentres.
2 Indice 2
Écris $G = \text{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}$ et $A' = \text{bar}\{(B,1),(C,1)\}$. Regroupe $(B,1)$ et $(C,1)$ ensemble dans l'expression de $G$ pour faire apparaître $A'$ avec un coefficient total.

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La méthode — par où commencer

Commence par exprimer le centre de gravité comme barycentre des trois sommets, puis remarque que le milieu est lui-même un barycentre de deux sommets. Pense à utiliser l'associativité des barycentres.

Écris et . Regroupe et ensemble dans l'expression de pour faire apparaître avec un coefficient total.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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