Développer ( 2 x − 3 ) 4 en utilisant la formule du binôme de Newton. Dans le développement de ( x + x 1 ) 8 , trouver le terme indépendant de x . Trouver le coefficient de x 5 dans le développement de ( 3 + x ) 7 . En posant x = 1 dans le développement de ( 1 + 2 x ) 6 , calculer la valeur de la somme k = 0 ∑ 6 C 6 k ⋅ 2 k .

Binôme de Newton — terme général et coefficient

Intermédiaire

Énoncé

Développer $(2 x - 3)^{4}$ en utilisant la formule du binôme de Newton.
Dans le développement de $(x + \frac{1}{x})^{8}$ , trouver le terme indépendant de $x$ .
Trouver le coefficient de $x^{5}$ dans le développement de $(3 + x)^{7}$ .
En posant $x = 1$ dans le développement de $(1 + 2 x)^{6}$ , calculer la valeur de la somme $k = 0 \sum 6 C_{6}^{k} \cdot 2^{k}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour chaque exercice, utilise la formule du binôme : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \times a^{n-k} \times b^k$. Identifie bien $a$, $b$ et $n$ dans chaque cas, même quand $b$ est négatif ou une fraction.

2 Indice 2

Pour trouver un terme particulier, écris d'abord le terme général $T_k$ avec les puissances de $x$. Puis détermine quelle valeur de $k$ donne la puissance recherchée : pour un terme indépendant, résous $\text{exposant de } x = 0$.

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Pour chaque exercice, utilise la formule du binôme : $(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} \times a^{n - k} \times b^{k}$ . Identifie bien $a$ , $b$ et $n$ dans chaque cas, même quand $b$ est négatif ou une fraction.

Pour trouver un terme particulier, écris d'abord le terme général $T_{k}$ avec les puissances de $x$ . Puis détermine quelle valeur de $k$ donne la puissance recherchée : pour un terme indépendant, résous $exposant de x = 0$ .

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