Étude complète d'une fonction rationnelle

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Énoncé

Soit .

  1. Déterminer et calculer .
  2. Étudier le signe de et dresser le tableau de variations.
  3. Déterminer les extrema locaux.

Indices

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1 Indice 1
Pour commencer, détermine l'ensemble de définition : pour quelles valeurs de $x$ la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ est-elle définie ? Ensuite, réécris $f(x)$ en séparant la fraction : $\dfrac{x^2}{x} + \dfrac{1}{x}$.
2 Indice 2
Une fois $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ obtenue, dérive terme par terme. Pour $\dfrac{1}{x}$, rappelle-toi que $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$. Ensuite, mets $f'(x)$ au même dénominateur pour factoriser le numérateur et étudier son signe.

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La méthode — par où commencer

Pour commencer, détermine l'ensemble de définition : pour quelles valeurs de la fonction est-elle définie ? Ensuite, réécris en séparant la fraction : .

Une fois obtenue, dérive terme par terme. Pour , rappelle-toi que . Ensuite, mets au même dénominateur pour factoriser le numérateur et étudier son signe.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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