On veut montrer que e x ≥ 1 + x pour tout x ∈ R (en utilisant f ( x ) = e x − 1 − x ). Calculer f ′ ( x ) et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de f . Conclure que f ( x ) ≥ 0 pour tout x ∈ R , c'est-à-dire e x ≥ 1 + x . Pour quelle valeur de x a-t-on égalité ?

Inégalité démontrée par la dérivée

Difficile

On veut montrer que $e^{x} \geq 1 + x$ pour tout $x \in R$ (en utilisant $f (x) = e^{x} - 1 - x$ ).

Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Conclure que $f (x) \geq 0$ pour tout $x \in R$ , c'est-à-dire $e^{x} \geq 1 + x$ .
Pour quelle valeur de $x$ a-t-on égalité ?

— clique pour révéler

1 Indice 1

Calcule $f'(x)$ pour $f(x)=e^x-1-x$ et détermine où elle s'annule.

2 Indice 2

Étudie le signe de $f'(x)=e^x-1$ selon que $x$ est négatif ou positif pour dresser le tableau de variations.

3 Indice 3

Le minimum de $f$ est atteint en $x=0$ ; calcule $f(0)$ pour conclure sur le signe de $f$ partout.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Calcule $f^{'} (x)$ pour $f (x) = e^{x} - 1 - x$ et détermine où elle s'annule.

Étudie le signe de $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ selon que $x$ est négatif ou positif pour dresser le tableau de variations.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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