BAC — Dérivée n-ième et suite liée à la dérivation

Difficile
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Énoncé

(Type BAC) Soit .

  1. Calculer , , . Conjecturer .
  2. Démontrer la formule conjecturée par récurrence.
  3. On pose . Calculer et étudier la suite .

Indices

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1 Indice 1
Utilisez la règle de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ pour calculer $f'(x)$, puis recommencez pour $f''(x)$ et $f'''(x)$. Observez comment évolue le coefficient devant $e^x$.
2 Indice 2
Pour la récurrence, l'hérédité consiste à dériver $(x+n)e^x$ en utilisant la règle du produit ; simplifiez le résultat pour retrouver la forme attendue au rang $n+1$.
3 Indice 3
Pour la question 3, évaluez simplement la formule $f^{(n)}(x) = (x+n)e^x$ en $x = 0$.

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La méthode — par où commencer

Utilisez la règle de dérivation d'un produit pour calculer , puis recommencez pour et . Observez comment évolue le coefficient devant .

Pour la récurrence, l'hérédité consiste à dériver en utilisant la règle du produit ; simplifiez le résultat pour retrouver la forme attendue au rang .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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