Étude d'une fonction irrationnelle avec asymptote oblique

Exercice 3

On considère la fonction h définie sur son domaine de définition par :

$h(x)=x+1+\frac{1}{x-2}$

1. Déterminer le domaine de définition $D_h$.

2. Calculer les limites de h en $-\infty$, $+\infty$ et en $x=2$. En déduire les asymptotes à $C_h$. Montrer en particulier que la droite $\Delta$ d'équation $y=x+1$ est une asymptote oblique à $C_h$.

3. Calculer $h^{\prime }(x)$ pour tout $x\in D_h$. Étudier son signe et dresser le tableau de variations de h.

4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $C_h$ avec la droite $\Delta$ (si elles existent) ou justifier leur absence.

5. Montrer que $C_h$ admet un centre de symétrie dont on précisera les coordonnées.