Étude d'une fonction avec paramètre et discussion

Exercice 4

On considère la famille de fonctions $f_m$ définie pour tout réel m par :

$f_m(x)=x^2-2mx+m+2$

1. Montrer que pour tout réel m, $D_{f_m}=\mathbb{R}$.

2. Calculer $f_m^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f_m$.

3. Déterminer le minimum de $f_m$ en fonction de m.

4. Discuter, selon les valeurs de m, le nombre de zéros de $f_m$ (c'est-à-dire le nombre de solutions de $f_m(x)=0$).

5. Déterminer la valeur de m pour laquelle la courbe $C_{f_m}$ passe par le point A(1 ; −1). Pour cette valeur de m, calculer les coordonnées du sommet de la parabole.