Coplanarité de quatre points par une relation vectorielle

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Les points , , , et de l'espace vérifient :

Montrer que les points , , , sont coplanaires.

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que quatre points sont coplanaires, tu dois exprimer l'un des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ ou $\overrightarrow{AD}$ comme combinaison linéaire des deux autres. Commence par utiliser la relation de Chasles pour transformer tous les vecteurs en prenant $A$ comme origine commune.
2 Indice 2
Remplace chaque vecteur $\overrightarrow{EB}$, $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{ED}$ par $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD}$ dans l'équation de départ. Développe puis regroupe les termes en $\overrightarrow{EA}$ : leur coefficient total devrait s'annuler.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que quatre points sont coplanaires, tu dois exprimer l'un des vecteurs , ou comme combinaison linéaire des deux autres. Commence par utiliser la relation de Chasles pour transformer tous les vecteurs en prenant comme origine commune.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Vecteurs coplanaires et non coplanaires d'un parallélépipède Tous les exercices du chapitre Vecteurs coplanaires dans un cube (milieux d'arêtes)