Fonction définie par morceaux Soit f définie sur R ∗ par : f ( x ) = 2 + x 2 + sin x si x > 0 f ( x ) = x 2 1 − cos 2 x si x < 0 Calculer x → 0 lim f ( x ) . Montrer que pour tout x ∈ R + ∗ , ∣ f ( x ) ∣ ≤ x 3 , puis en déduire x → + ∞ lim f ( x ) .

Fonction par morceaux et théorème d'encadrement

Intermédiaire

Soit $f$ définie sur $R^{*}$ par :

$f (x) = \frac{2 + sin x}{2 + x} si x > 0$

$f (x) = \frac{1 - cos ^{2} x}{x ^{2}} si x < 0$

Calculer $x \to 0 lim f (x)$ .
Montrer que pour tout $x \in R_{+}^{*}$ , $∣ f (x) ∣ \leq \frac{3}{x}$ , puis en déduire $x \to + \infty lim f (x)$ .

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