Limite et inégalité — fonction définie par morceaux

Difficile
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Énoncé

Soit définie sur par :

  1. Calculer .

  2. Montrer que pour tout , , puis en déduire .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la limite en $0$, etudie separement la limite a droite (avec $x>0$) et a gauche (avec $x<0$), en utilisant $1-\\cos^2 x=\\sin^2 x$ pour le cas $x<0$.
2 Indice 2
Pour l'inegalite, majore $2+\\sin x$ par $3$ et compare $2+\\sqrt{x}$ a $\\sqrt{x}$ pour $x>0$.
3 Indice 3
Une fois l'encadrement $0\\le |f(x)| \\le \\dfrac{3}{\\sqrt{x}}$ etabli, utilise le theoreme des gendarmes en calculant la limite de $\\dfrac{3}{\\sqrt{x}}$ en $+\\infty$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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La méthode — par où commencer

Pour la limite en , etudie separement la limite a droite (avec ) et a gauche (avec ), en utilisant pour le cas .

Pour l'inegalite, majore par et compare a pour .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Limite avec racine et sinus en $\frac{\pi}{2}$ Tous les exercices du chapitre Limite avec racines en un point (forme conjuguée double)