Intersection d'un plan et d'une sphère : cercle

Difficile
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Énoncé

Soit la sphère de centre et de rayon , et le plan .

  1. Calculer puis en déduire que coupe suivant un cercle .
  2. Déterminer les coordonnées du centre du cercle et son rayon .
  3. a) Vérifier que le point . b) Déterminer l'équation du plan tangent à en .

Indices

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1 Indice 1
Pour la distance d'un point a un plan, utilise la formule $d(\Omega,(P))=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ avec les coordonnees de $\Omega$ et les coefficients de $(P)$.
2 Indice 2
Le centre $H$ du cercle est le projete orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$ : cherche-le sur la droite passant par $\Omega$ de vecteur directeur le vecteur normal de $(P)$, puis reporte dans l'equation de $(P)$ pour trouver le parametre.
3 Indice 3
Pour le rayon $r$ du cercle, utilise le theoreme de Pythagore dans le triangle rectangle $\Omega H M$ (avec $M$ sur le cercle) : $R^2=d^2+r^2$. Pour la question 3, verifie l'appartenance de $A$ a $(S)$ en calculant $\Omega A$, puis utilise $\overrightarrow{\Omega A}$ comme vecteur normal du plan tangent.

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La méthode — par où commencer

Pour la distance d'un point a un plan, utilise la formule avec les coordonnees de et les coefficients de .

Le centre du cercle est le projete orthogonal de sur : cherche-le sur la droite passant par de vecteur directeur le vecteur normal de , puis reporte dans l'equation de pour trouver le parametre.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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