On considère les points A ( 2 ; 0 ) , B ( 0 ; 2 ) , C ( 2 ; 2 ) et O ( 0 ; 0 ) . On note I et J les milieux respectifs des segments [ A C ] et [ O A ] . Calculer cos ( B I , B J ) et sin ( B I , B J ) , puis en déduire l'aire du triangle I B J . Soit ( D ) la droite d'équation ( 1 − m ) x + y − 2 = 0 avec m  = 1 . a) Déterminer, en fonction de m , les distances d = d ( A , ( D )) et d ′ = d ( C , ( D )) . b) Déterminer la valeur de m pour laquelle d ′ = 2 d .

Angle, aire et distances dépendant d'un paramètre

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On considère les points $A (2; 0)$ , $B (0; 2)$ , $C (2; 2)$ et $O (0; 0)$ . On note $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[A C]$ et $[O A]$ .

Calculer $cos (B I, B J)$ et $sin (B I, B J)$ , puis en déduire l'aire du triangle $I B J$ .
Soit $(D)$ la droite d'équation $(1 - m) x + y - 2 = 0$ avec $m \neq = 1$ .
a) Déterminer, en fonction de $m$ , les distances $d = d (A, (D))$ et $d^{'} = d (C, (D))$ .
b) Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $d^{'} = 2 d$ .

Indices

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1 Indice 1

Calcule d'abord les coordonnees de $I$ et $J$ comme milieux des segments donnes.

2 Indice 2

Le cosinus s'obtient avec le produit scalaire divise par le produit des normes, le sinus avec le determinant divise par le meme produit.

3 Indice 3

Pour la question 2, exprime la distance d'un point a une droite avec la formule $d(M,(D))=\dfrac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, puis remarque que les denominateurs sont identiques pour comparer $d$ et $d'$.

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Le cosinus s'obtient avec le produit scalaire divise par le produit des normes, le sinus avec le determinant divise par le meme produit.

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