Dans un repère orthonormé, on considère les points A ( 5 ; 0 ) , B ( 2 ; 1 ) et C ( 6 ; 3 ) . Calculer les distances A B et A C . Déterminer les coordonnées de I et J , milieux respectifs des segments [ A B ] et [ B C ] . Calculer les produits scalaires A B ⋅ A C et B C ⋅ B A . Les points A , B et C sont-ils alignés ? Calculer cos ( B C ; B A ) et sin ( B C ; B A ) . En déduire une mesure de l'angle orienté ( B C ; B A ) . Calculer l'aire du triangle A B C .

Triangle ABC : distances, produit scalaire, angle et aire

Intermédiaire

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A (5; 0)$ , $B (2; 1)$ et $C (6; 3)$ .

Calculer les distances $A B$ et $A C$ .
Déterminer les coordonnées de $I$ et $J$ , milieux respectifs des segments $[A B]$ et $[B C]$ .
Calculer les produits scalaires $A B \cdot A C$ et $B C \cdot B A$ .
Les points $A$ , $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
Calculer $cos (B C; B A)$ et $sin (B C; B A)$ .
En déduire une mesure de l'angle orienté $(B C; B A)$ .
Calculer l'aire du triangle $A B C$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer une distance entre deux points, commence par déterminer les coordonnées du vecteur qui les relie. Par exemple, $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A \,; y_B - y_A)$, puis applique la formule $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

2 Indice 2

Pour les milieux, utilise les formules : $I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \,; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$. Pour le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, calcule $x_{AB} \times x_{AC} + y_{AB} \times y_{AC}$. Un produit scalaire nul indique des vecteurs perpendiculaires.

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Pour calculer une distance entre deux points, commence par déterminer les coordonnées du vecteur qui les relie. Par exemple, $A B$ a pour coordonnées $(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ , puis applique la formule $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .

Pour les milieux, utilise les formules : $I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ . Pour le produit scalaire $A B \cdot A C$ , calcule $x_{A B} \times x_{A C} + y_{A B} \times y_{A C}$ . Un produit scalaire nul indique des vecteurs perpendiculaires.

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