Résoudre l'équation 2 sin 2 ( x ) − sin ( x ) − 1 = 0 sur [ 0 , 2 π ] . Poser u = sin ( x ) et résoudre l'équation du second degré en u . Pour chaque valeur de u obtenue, résoudre sin ( x ) = u sur [ 0 , 2 π ] . Donner l'ensemble solution.

Équation du second degré en sin(x)

Intermédiaire

Énoncé

Résoudre l'équation $2 sin^{2} (x) - sin (x) - 1 = 0$ sur $[0, 2 π]$ .

Poser $u = sin (x)$ et résoudre l'équation du second degré en $u$ .
Pour chaque valeur de $u$ obtenue, résoudre $sin (x) = u$ sur $[0, 2 π]$ .
Donner l'ensemble solution.

Indices

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1 Indice 1

Commence par poser $u = \sin(x)$, puis résous l'équation du second degré $2u^2 - u - 1 = 0$ en calculant son discriminant. N'oublie pas de vérifier que les valeurs de $u$ trouvées appartiennent bien à $[-1, 1]$.

2 Indice 2

Une fois les valeurs de $u$ trouvées, résous séparément $\sin(x) = u_1$ et $\sin(x) = u_2$ sur $[0, 2\pi]$. Pour $\sin(x) = -\dfrac{1}{2}$, pense au cercle trigonométrique : cette valeur correspond à deux angles dans l'intervalle demandé, l'un au troisième quadrant et l'autre au quatrième.

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Commence par poser $u = sin (x)$ , puis résous l'équation du second degré $2 u^{2} - u - 1 = 0$ en calculant son discriminant. N'oublie pas de vérifier que les valeurs de $u$ trouvées appartiennent bien à $[- 1, 1]$ .

Une fois les valeurs de $u$ trouvées, résous séparément $sin (x) = u_{1}$ et $sin (x) = u_{2}$ sur $[0, 2 π]$ . Pour $sin (x) = - \frac{1}{2}$ , pense au cercle trigonométrique : cette valeur correspond à deux angles dans l'intervalle demandé, l'un au troisième quadrant et l'autre au quatrième.

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