Factorisation et résolution Pour tout x ∈ R , on pose A ( x ) = sin ( x ) + sin ( 2 x ) + sin ( 3 x ) + sin ( 4 x ) . Calculer A ( 0 ) , A ( π ) et A ( 4 π ) . Montrer que A ( x ) = 4 cos ( x ) sin ( 2 5 x ) cos ( 2 x ) . Résoudre dans [ 0 ; π ] l'équation A ( x ) = 0 .

Somme $\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x$

Difficile

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Factorisation et résolution

Pour tout $x \in R$ , on pose $A (x) = sin (x) + sin (2 x) + sin (3 x) + sin (4 x)$ .

Calculer $A (0)$ , $A (π)$ et $A (\frac{π}{4})$ .
Montrer que $A (x) = 4 cos (x) sin (\frac{5 x}{2}) cos (\frac{x}{2})$ .
Résoudre dans $[0; π]$ l'équation $A (x) = 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, remplace directement $x$ par $0$, $\pi$ et $\pi/4$ dans l'expression de $A(x)$ et calcule chaque sinus.

2 Indice 2

Pour la question 2, regroupe les termes extremes $\sin(3x)+\sin(x)$ et les termes centraux $\sin(4x)+\sin(2x)$ avec la formule $\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$.

3 Indice 3

Pour la question 3, l'equation $A(x)=0$ revient a annuler un produit de trois facteurs : resous separement $\cos x=0$, $\sin(5x/2)=0$ et $\cos(x/2)=0$ sur $[0,\pi]$.

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Pour la question 1, remplace directement $x$ par $0$ , $π$ et $π /4$ dans l'expression de $A (x)$ et calcule chaque sinus.

Pour la question 2, regroupe les termes extremes $sin (3 x) + sin (x)$ et les termes centraux $sin (4 x) + sin (2 x)$ avec la formule $sin p + sin q = 2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$ .

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