Somme et produit de $\sin/\cos$ avec angles multiples

Difficile
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Simplification d'un quotient

Montrer que pour tout :

Indices

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1 Indice 1
Pour le numérateur, regroupe $\sin(2x)$ et $\sin(6x)$ à l'aide de la formule de transformation somme en produit $\sin p + \sin q = 2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$.
2 Indice 2
Pour le dénominateur, regroupe de même $1$ et $\cos(4x)$ en utilisant $1+\cos(2\theta)=2\cos^2\theta$ avec $\theta=2x$.
3 Indice 3
Après avoir factorisé numérateur et dénominateur, un facteur commun $(1+2\cos(2x))$ doit apparaître : simplifie-le puis utilise $\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)$.

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La méthode — par où commencer

Pour le numérateur, regroupe et à l'aide de la formule de transformation somme en produit .

Pour le dénominateur, regroupe de même et en utilisant avec .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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