Restes de divisions et chiffre des unités par les congruences

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  1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .

  2. Déterminer le chiffre des unités de .

  3. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .

  4. Montrer que l'équation n'admet aucune solution entière.

  5. Pour tout , on pose et . Montrer que .

Indices

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1 Indice 1
Pour chaque question, commence par simplifier les nombres modulo le diviseur demandé. Par exemple pour la question 1, trouve à quoi est congru $2022$ modulo $7$, puis utilise les propriétés des puissances modulo $7$.
2 Indice 2
Cherche des cycles ou des motifs qui se répètent : par exemple $6^2 \equiv 1 \pmod{7}$, ou $6^k \equiv 6 \pmod{10}$ pour tout $k \geq 1$. Cela permet de simplifier les grandes puissances en décomposant l'exposant.

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La méthode — par où commencer

Pour chaque question, commence par simplifier les nombres modulo le diviseur demandé. Par exemple pour la question 1, trouve à quoi est congru modulo , puis utilise les propriétés des puissances modulo .

Cherche des cycles ou des motifs qui se répètent : par exemple , ou pour tout . Cela permet de simplifier les grandes puissances en décomposant l'exposant.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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