Situation-problème : modélisation de la décroissance d'un médicament

Exercice 4

Un médecin à Casablanca étudie l'élimination d'un médicament dans le sang d'un patient. Il modélise la concentration $C(t)$ (en mg/L) de ce médicament à l'instant $t$ (en heures, $t\ge 0$) par l'équation différentielle :

(E) : $C^{\prime }=-0,5\cdot C$

À l'instant $t=0$, la concentration initiale est $C(0)=8$ mg/L.

1. Résoudre l'équation (E) et déterminer la solution vérifiant la condition initiale $C(0)=8$.
2. Calculer la concentration au bout de 2 heures. (On donnera une valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, sachant que $e^{-1}\approx 0,368$.)
3. Au bout de combien de temps la concentration est-elle inférieure à 1 mg/L ? (On donnera une expression exacte faisant intervenir $\ln 8$, puis une valeur approchée sachant que $\ln 8\approx 2,08$.)
4. Le médecin considère que le médicament est « éliminé » lorsque la concentration est inférieure à 0,1 mg/L. Montrer que cela se produit avant $t=10$ heures.