Résolution d'équation dans ℂ et interprétation géométrique

Intermédiaire Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 3 — Équation complexe et géométrie

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O, u⃗, v⃗), on associe à tout point M son affixe z.

On pose j = .

  1. Montrer que j est une racine cubique de l'unité, c'est-à-dire que . En déduire que .
  2. Écrire j et sous forme algébrique.
  3. On considère les points A, B, C d'affixes respectives , , .
    a) Calculer , et .
    b) Que peut-on conclure sur le triangle ABC ?
  4. Calculer l'affixe du centre de gravité G du triangle ABC. Que remarque-t-on ?

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour montrer que $j^3 = 1$, utilise directement les propriétés de l'exponentielle complexe : calcule $\left(e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^3$ en appliquant la règle $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.
2 Indice 2
Pour les formes algébriques, applique la formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$. Calcule $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ en plaçant l'angle sur le cercle trigonométrique.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que , utilise directement les propriétés de l'exponentielle complexe : calcule en appliquant la règle .

Pour les formes algébriques, applique la formule d'Euler : . Calcule et en plaçant l'angle sur le cercle trigonométrique.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Image géométrique — ensemble de points dans le plan complexe Tous les exercices du chapitre z₁=3+2i, z₂=1-i : opérations, conjugué et quotient