Valeurs exactes de cos et sin de 7π/12 via un produit

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Énoncé

On pose et .

  1. Montrer que , puis calculer .

  2. Écrire puis sous forme trigonométrique.

  3. En déduire les valeurs exactes de et .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $a = -2\sqrt{3} + 2i$, développe le produit $(1 + i)\big[(1 - \sqrt{3}) + i(1 + \sqrt{3})\big]$ en n'oubliant pas que $i^2 = -1$, puis regroupe les parties réelle et imaginaire.
2 Indice 2
Pour la forme trigonométrique de $a$, calcule d'abord $|a| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2}$, puis factorise pour identifier $\cos\theta$ et $\sin\theta$. Ensuite, utilise $b = \dfrac{a}{1+i}$ et les propriétés du quotient des formes trigonométriques.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que , développe le produit en n'oubliant pas que , puis regroupe les parties réelle et imaginaire.

Pour la forme trigonométrique de , calcule d'abord , puis factorise pour identifier et . Ensuite, utilise et les propriétés du quotient des formes trigonométriques.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Quotient trigonométrique et valeurs exactes de cos et sin de π/12 Tous les exercices du chapitre Radicaux emboîtés : valeurs exactes de cos et sin de π/8 et 7π/8