Radicaux emboîtés : valeurs exactes de cos et sin de π/8 et 7π/8

Difficile
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Énoncé

On pose .

  1. Écrire sous forme algébrique.

  2. Écrire sous forme trigonométrique.

  3. En déduire la forme trigonométrique de .

  4. Calculer les valeurs exactes de et .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour développer $a^2$, utilise l'identité $(A+iB)^2 = A^2-B^2+2iAB$ avec $A=\sqrt{2+\sqrt2}$ et $B=\sqrt{2-\sqrt2}$, et simplifie $(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)$.
2 Indice 2
Pour la forme trigonométrique de $a^2$, calcule son module $|a^2|$ puis factorise pour identifier $\cos$ et $\sin$ d'un angle remarquable.
3 Indice 3
Pour en déduire $a$, utilise $|a|=\sqrt{|a^2|}$ et $\arg(a) = \tfrac12\arg(a^2)$ (en tenant compte du signe des parties réelle et imaginaire de $a$), puis utilise $\dfrac{7\pi}{8}=\pi-\dfrac{\pi}{8}$ pour la dernière question.

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La méthode — par où commencer

Pour développer , utilise l'identité avec et , et simplifie .

Pour la forme trigonométrique de , calcule son module puis factorise pour identifier et d'un angle remarquable.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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