On pose a = 2 + 3 + i . Montrer que a = ( 2 3 + 2 1 i ) a , puis calculer ∣ a ∣ . Écrire a sous forme trigonométrique. En déduire les valeurs exactes de cos 12 π et sin 12 π . Montrer que a 6 = i ( 2 2 + 3 ) 6 .

Valeurs exactes de cos et sin de π/12 et puissance imaginaire pure

Difficile

Énoncé

On pose $a = 2 + 3 + i$ .

Montrer que $a = (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) \overline{a}$ , puis calculer $∣ a ∣$ .
Écrire $a$ sous forme trigonométrique.
En déduire les valeurs exactes de $cos \frac{π}{12}$ et $sin \frac{π}{12}$ .
Montrer que $a^{6} = i (2 2 + 3)^{6}$ .

Indices

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1 Indice 1

Calcule $\\overline{a}$ puis développe le produit $\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{1}{2}i\\right)\\overline{a}$ pour vérifier qu'il redonne $a$ ; pour le module utilise $|a| = \\sqrt{\\text{Re}(a)^2+\\text{Im}(a)^2}$.

2 Indice 2

Pour l'argument, prends l'argument de chaque membre de l'égalité de la question 1 en te souvenant que $\\arg(\\overline{a}) \\equiv -\\arg(a)\\,[2\\pi]$, puis résous l'équation en $\\arg(a)$.

3 Indice 3

Pour la question 3, identifie partie réelle et partie imaginaire de la forme trigonométrique avec la forme algébrique de $a$ ; pour la question 4, utilise la formule de Moivre $a^n = |a|^n(\\cos(n\\theta)+i\\sin(n\\theta))$.

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Calcule $o v er l in e a$ puis développe le produit $l e f t (df r a c s q r t 3 2 + df r a c 12 i r i g h t) o v er l in e a$ pour vérifier qu'il redonne $a$ ; pour le module utilise $∣ a ∣ = s q r t t e x t R e (a)^{2} + t e x t I m (a)^{2}$ .

Pour l'argument, prends l'argument de chaque membre de l'égalité de la question 1 en te souvenant que $a r g (o v er l in e a) e q u i v - a r g (a), [2 p i]$ , puis résous l'équation en $a r g (a)$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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