Probabilités conditionnelles et loi d'une variable aléatoire

Exercice 3 — Sélection d'étudiants à Rabat

Dans une école d'ingénieurs à Rabat, une promotion comprend 60 étudiants répartis comme suit :

• 35 étudiants ont suivi un cursus scientifique (S).
• 25 étudiants ont suivi un cursus technologique (T).

Parmi les étudiants scientifiques, 28 ont validé leur stage. Parmi les étudiants technologiques, 15 ont validé leur stage.

On choisit un étudiant au hasard dans la promotion. On note :

• S : « l'étudiant a suivi un cursus scientifique »
• V : « l'étudiant a validé son stage »

Partie A — Probabilités conditionnelles

1. Calculer $P(S)$, $P(V\cap S)$ et $P(V\cap T)$.

2. En déduire $P(V)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

3. Calculer $P(S|V)$ et interpréter ce résultat.

Partie B — Variable aléatoire

On choisit maintenant, successivement et sans remise, 3 étudiants parmi les 60. On note Y le nombre d'étudiants ayant validé leur stage parmi les 3 choisis.

4. Justifier que Y ne suit pas exactement une loi binomiale. Donner néanmoins la loi binomiale $B(n,p)$ qui peut servir d'approximation, en précisant les conditions justifiant cette approximation.

5. En utilisant cette approximation, calculer $P(Y=2)$. Arrondir à $10^{-4}$ près.