Corps ℤ/pℤ si et seulement si p premier

Difficile
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Énoncé

  1. Montrer que est un corps si et seulement si est un entier premier.
  2. Application : vérifier pour et montrer que n'est pas un corps.

Indices

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1 Indice 1
Un anneau fini est un corps si et seulement si tout element non nul y est inversible ; relie cela au caractere premier de $p$.
2 Indice 2
Pour le sens direct, si $p$ n'est pas premier ecris $p=ab$ et fais apparaitre des diviseurs de zero ; pour la reciproque, utilise l'identite de Bezout car $\\gcd(a,p)=1$.
3 Indice 3
Pour l'application, cherche les inverses dans $\\mathbb{Z}/5\\mathbb{Z}$ et exhibe un produit nul d'elements non nuls dans $\\mathbb{Z}/6\\mathbb{Z}$.

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Un anneau fini est un corps si et seulement si tout element non nul y est inversible ; relie cela au caractere premier de .

Pour le sens direct, si n'est pas premier ecris et fais apparaitre des diviseurs de zero ; pour la reciproque, utilise l'identite de Bezout car .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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