Soit G = R ∖ { − 1 } muni de la loi ∗ définie par a ∗ b = a + b + ab . Montrer que ( G , ∗ ) est un groupe abélien. Montrer que φ : ( G , ∗ ) → ( R + ∗ , × ) définie par φ ( x ) = x + 1 est un isomorphisme de groupes.

Problème BAC : groupe (ℝ\{−1}, ) isomorphe à (ℝ₊, ×)

Difficile

Soit G = $R$ $∖$ ${- 1}$ muni de la loi $*$ définie par $a * b = a + b + ab$ .

Montrer que $(G, *)$ est un groupe abélien.
Montrer que $φ$ : $(G, *)$ $\to$ $(R_{+}^{*}, \times)$ définie par $φ (x) = x + 1$ est un isomorphisme de groupes.

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1 Indice 1

Pour montrer qu'une structure est un groupe, verifie dans l'ordre : fermeture, associativite, element neutre, symetrique, commutativite.

2 Indice 2

Remarque que $a*b = (1+a)(1+b) - 1$, ce qui aide pour la fermeture et pour l'element neutre.

3 Indice 3

Pour l'isomorphisme, verifie que $\varphi(a*b) = \varphi(a)\times\varphi(b)$ en utilisant la meme identite.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour montrer qu'une structure est un groupe, verifie dans l'ordre : fermeture, associativite, element neutre, symetrique, commutativite.

Remarque que $a * b = (1 + a) (1 + b) - 1$ , ce qui aide pour la fermeture et pour l'element neutre.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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