Étude complète d'une suite définie par récurrence et inégalité asymptotique

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_1=2$ et, pour tout $n\ge 1$ : $u_{n+1}=\frac{n{u}_n+4}{n+1}$. On admet que tous les termes sont strictement positifs. 1) Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$, puis conjecturer une expression de $u_n$. 2) Démontrer par récurrence que, pour tout $n\ge 1$ : $u_n=\frac{4n-2}{n}$. 3) Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ et en déduire le sens de variation de $(u_n)$. 4) Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.