Soit A B C un triangle rectangle en B . Construire M et N tels que B M = 3 1 B C et C N = 2 A B . Montrer que A N = A C + 2 A B . Montrer que A M = 3 1 A C + 3 2 A B .

Décomposition de vecteurs et alignement

Difficile

Énoncé

Soit $A B C$ un triangle rectangle en $B$ .

Construire $M$ et $N$ tels que $B M = \frac{1}{3} B C$ et $C N = 2 A B$ .
Montrer que $A N = A C + 2 A B$ .
Montrer que $A M = \frac{1}{3} A C + \frac{2}{3} A B$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour $\overrightarrow{AN}$, utilise la relation de Chasles en passant par $C$ : $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}$.

2 Indice 2

Pour $\overrightarrow{AM}$, passe par $B$ : $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$, puis exprime $\overrightarrow{BC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

3 Indice 3

N'oublie pas la relation $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ avant de regrouper les termes.

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Pour $A N$ , utilise la relation de Chasles en passant par $C$ : $A N = A C + C N$ .

Pour $A M$ , passe par $B$ : $A M = A B + B M$ , puis exprime $B C$ en fonction de $A B$ et $A C$ .

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