Soit n un entier naturel impair. Montrer que n 2 − 1 est divisible par 8 . En déduire que 16 divise n 4 − 1 . Soient a et b deux entiers naturels impairs. Montrer que 16 divise a 4 + b 4 − 2 .

Divisibilité par 8 et 16

Difficile

Soit $n$ un entier naturel impair.
1. Montrer que $n^{2} - 1$ est divisible par $8$ .
2. En déduire que $16$ divise $n^{4} - 1$ .
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels impairs. Montrer que $16$ divise $a^{4} + b^{4} - 2$ .

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1 Indice 1

Pose $n=2k+1$ et développe $n^2-1$ pour faire apparaître un facteur $4k(k+1)$.

2 Indice 2

Remarque que $k(k+1)$ est toujours pair, ce qui donne le facteur $8$ demandé.

3 Indice 3

Pour la question 2, factorise $n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)$ et utilise le résultat précédent.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pose $n = 2 k + 1$ et développe $n^{2} - 1$ pour faire apparaître un facteur $4 k (k + 1)$ .

Remarque que $k (k + 1)$ est toujours pair, ce qui donne le facteur $8$ demandé.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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