Simplifier (c'est-à-dire calculer la valeur exacte de) chacune des expressions suivantes : A = sin 13 π + sin 13 3 π + sin 13 14 π + sin 13 16 π D = cos 3 π − cos 3 2 π − cos 3 4 π + cos 3 5 π C = sin 2 11 π + sin 2 11 3 π + sin 2 22 17 π + sin 2 22 9 π

Sommes trigonométriques remarquables

Difficile

Énoncé

Simplifier (c'est-à-dire calculer la valeur exacte de) chacune des expressions suivantes :

$A = sin \frac{π}{13} + sin \frac{3 π}{13} + sin \frac{14 π}{13} + sin \frac{16 π}{13}$

$D = cos \frac{π}{3} - cos \frac{2 π}{3} - cos \frac{4 π}{3} + cos \frac{5 π}{3}$

$C = sin^{2} \frac{π}{11} + sin^{2} \frac{3 π}{11} + sin^{2} \frac{17 π}{22} + sin^{2} \frac{9 π}{22}$

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour $A$, remarque que $\dfrac{14\pi}{13}=\pi+\dfrac{\pi}{13}$ et $\dfrac{16\pi}{13}=\pi+\dfrac{3\pi}{13}$ : utilise $\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta$.

2 Indice 2

Pour $D$, calcule simplement les quatre valeurs remarquables de cosinus (angles multiples de $\pi/3$) puis additionne/soustrais.

3 Indice 3

Pour $C$, remarque que $\dfrac{17\pi}{22}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{11}$ et $\dfrac{9\pi}{22}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{11}$ : utilise $\sin(\pi/2\pm\theta)=\cos\theta$ puis $\sin^2+\cos^2=1$.

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Pour $A$ , remarque que $\frac{14 π}{13} = π + \frac{π}{13}$ et $\frac{16 π}{13} = π + \frac{3 π}{13}$ : utilise $sin (π + θ) = - sin θ$ .

Pour $D$ , calcule simplement les quatre valeurs remarquables de cosinus (angles multiples de $π /3$ ) puis additionne/soustrais.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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