Soit x ∈ R et A ( x ) = cos x + sin x − ( cos 3 x + sin 3 x ) . Montrer que A ( x ) = cos x ⋅ sin x ⋅ ( cos x + sin x ) . Vérifier que A ( 2 π + x ) = A ( − x ) , puis que A ( π + x ) = − A ( x ) .

Factorisation et angles associés d'une expression

Intermédiaire

Énoncé

Soit $x \in R$ et $A (x) = cos x + sin x - (cos^{3} x + sin^{3} x)$ .

Montrer que $A (x) = cos x \cdot sin x \cdot (cos x + sin x)$ .
Vérifier que $A (\frac{π}{2} + x) = A (- x)$ , puis que $A (π + x) = - A (x)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour simplifier $A(x)$, mets $\cos x + \sin x$ en facteur commun, puis utilise la formule $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ pour factoriser $\cos^3 x + \sin^3 x$.

2 Indice 2

Une fois factorisé, tu obtiens $A(x) = (\cos x + \sin x) - (\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x)$. Factorise encore $(\cos x + \sin x)$ et développe ce qui reste entre crochets.

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Pour simplifier $A (x)$ , mets $cos x + sin x$ en facteur commun, puis utilise la formule $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ pour factoriser $cos^{3} x + sin^{3} x$ .

Une fois factorisé, tu obtiens $A (x) = (cos x + sin x) - (cos x + sin x) (1 - cos x sin x)$ . Factorise encore $(cos x + sin x)$ et développe ce qui reste entre crochets.

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