Pour x ∈ [ 0 , π ] , on pose A ( x ) = sin 2 x + 2 cos 2 x 1 . Calculer A ( 0 ) , A ( 4 π ) et A ( 6 π ) . Vérifier que A ( π − x ) = A ( x ) , et en déduire A ( 6 5 π ) , A ( 4 3 π ) et A ( π ) . Pour x  = 2 π , montrer que A ( x ) = 2 + tan 2 x 1 + tan 2 x .

Étude d'une fonction trigonométrique avec la tangente

Difficile

Pour $x \in [0, π]$ , on pose $A (x) = \frac{1}{sin ^{2} x + 2 cos ^{2} x}$ .

Calculer $A (0)$ , $A (\frac{π}{4})$ et $A (\frac{π}{6})$ .
Vérifier que $A (π - x) = A (x)$ , et en déduire $A (\frac{5 π}{6})$ , $A (\frac{3 π}{4})$ et $A (π)$ .
Pour $x \neq = \frac{π}{2}$ , montrer que $A (x) = \frac{1 + tan ^{2} x}{2 + tan ^{2} x}$ .

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1 Indice 1

Remarque que $\sin^2 x + 2\cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + \cos^2 x = 1 + \cos^2 x$, ce qui simplifie beaucoup $A(x)$.

2 Indice 2

Pour la symétrie, utilise $\cos(\pi - x) = -\cos x$ donc $\cos^2(\pi-x) = \cos^2 x$.

3 Indice 3

Pour l'expression avec la tangente, divise numérateur et dénominateur de $A(x)$ par $\cos^2 x$, en utilisant $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Remarque que $sin^{2} x + 2 cos^{2} x = (sin^{2} x + cos^{2} x) + cos^{2} x = 1 + cos^{2} x$ , ce qui simplifie beaucoup $A (x)$ .

Pour la symétrie, utilise $cos (π - x) = - cos x$ donc $cos^{2} (π - x) = cos^{2} x$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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