On donne cos 5 π = 4 1 + 5 . a) Calculer la valeur exacte de sin 5 π . b) En déduire cos 5 4 π et sin 5 4 π . On donne cos 12 π = 4 2 + 6 . a) Calculer la valeur exacte de sin 12 π . b) En déduire cos 12 11 π et sin 12 11 π .

Valeurs exactes à partir de cos(π/5) et cos(π/12)

Difficile

Énoncé

On donne $cos \frac{π}{5} = \frac{1 + 5}{4}$ .
a) Calculer la valeur exacte de $sin \frac{π}{5}$ .
b) En déduire $cos \frac{4 π}{5}$ et $sin \frac{4 π}{5}$ .
On donne $cos \frac{π}{12} = \frac{2 + 6}{4}$ .
a) Calculer la valeur exacte de $sin \frac{π}{12}$ .
b) En déduire $cos \frac{11 π}{12}$ et $sin \frac{11 π}{12}$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Utilise l'identité $\\sin^2\\theta + \\cos^2\\theta = 1$ pour trouver $\\sin^2\\dfrac{\\pi}{5}$ à partir de $\\cos\\dfrac{\\pi}{5}$, puis choisis le bon signe selon l'intervalle.

2 Indice 2

Pour la déduction, remarque que $\\dfrac{4\\pi}{5} = \\pi - \\dfrac{\\pi}{5}$ et utilise $\\cos(\\pi-\\theta)=-\\cos\\theta$, $\\sin(\\pi-\\theta)=\\sin\\theta$.

3 Indice 3

Pour la partie 2, applique la même méthode avec $\\dfrac{\\pi}{12}$, puis note que $\\dfrac{11\\pi}{12}=\\pi-\\dfrac{\\pi}{12}$.

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La méthode — par où commencer

Utilise l'identité $s i n^{2} t h e t a + co s^{2} t h e t a = 1$ pour trouver $s i n^{2} df r a c p i 5$ à partir de $cos df r a c p i 5$ , puis choisis le bon signe selon l'intervalle.

Pour la déduction, remarque que $df r a c 4 p i 5 = p i - df r a c p i 5$ et utilise $cos (p i - t h e t a) = - cos t h e t a$ , $s in (p i - t h e t a) = s in t h e t a$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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