Énoncé On admet les valeurs cos 12 π = 4 6 + 2 et sin 12 π = 4 6 − 2 . Vérifier que cos 2 12 π + sin 2 12 π = 1 . En déduire tan 12 π sous forme simplifiée. Calculer cos 12 5 π , sin 12 5 π et tan 12 5 π .

Valeurs exactes de cos(π/12), sin(π/12), tan(π/12)

Difficile

Énoncé

On admet les valeurs $cos \frac{π}{12} = \frac{6 + 2}{4}$ et $sin \frac{π}{12} = \frac{6 - 2}{4}$ .

Vérifier que $cos^{2} \frac{π}{12} + sin^{2} \frac{π}{12} = 1$ .
En déduire $tan \frac{π}{12}$ sous forme simplifiée.
Calculer $cos \frac{5 π}{12}$ , $sin \frac{5 π}{12}$ et $tan \frac{5 π}{12}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, développe les carrés $(\\sqrt6+\\sqrt2)^2$ et $(\\sqrt6-\\sqrt2)^2$ séparément puis additionne.

2 Indice 2

Pour la question 2, exprime $\\tan\\frac{\\pi}{12}$ comme le rapport $\\frac{\\sin}{\\cos}$, puis rationalise le dénominateur en multipliant par la quantité conjuguée.

3 Indice 3

Pour la question 3, remarque que $\\frac{5\\pi}{12} = \\frac{\\pi}{2} - \\frac{\\pi}{12}$ et utilise les formules de complémentarité entre sinus et cosinus.

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Pour la question 1, développe les carrés $(s q r t 6 + s q r t 2)^{2}$ et $(s q r t 6 - s q r t 2)^{2}$ séparément puis additionne.

Pour la question 2, exprime $t an f r a c p i 12$ comme le rapport $f r a c s in cos$ , puis rationalise le dénominateur en multipliant par la quantité conjuguée.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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