Énoncé Soit A B C un triangle tel que A B = 4 , B A C = 3 π et A B C = 4 π . On pose A C = b et B C = a . Montrer que b = 3 a 6 . Montrer que a 2 + 4 6 a − 48 = 0 , puis calculer a . Calculer le rayon R du cercle circonscrit au triangle A B C .

Triangle : loi des sinus et équation du second degré

Difficile

Énoncé

Soit $A B C$ un triangle tel que $A B = 4$ , $B A C = \frac{π}{3}$ et $A B C = \frac{π}{4}$ . On pose $A C = b$ et $B C = a$ .

Montrer que $b = \frac{a 6}{3}$ .
Montrer que $a^{2} + 46 a - 48 = 0$ , puis calculer $a$ .
Calculer le rayon $R$ du cercle circonscrit au triangle $A B C$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour 1), utilise la loi des sinus $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ pour exprimer $b$ en fonction de $a$.

2 Indice 2

Pour 2), applique le theoreme d'Al-Kashi (loi des cosinus) a l'angle $\widehat A$, puis remplace $b$ par l'expression trouvee en 1) pour obtenir une equation uniquement en $a$.

3 Indice 3

Pour 3), utilise a nouveau la loi des sinus sous la forme $2R = \dfrac{a}{\sin A}$.

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Pour 1), utilise la loi des sinus $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ pour exprimer $b$ en fonction de $a$ .

Pour 2), applique le theoreme d'Al-Kashi (loi des cosinus) a l'angle $A$ , puis remplace $b$ par l'expression trouvee en 1) pour obtenir une equation uniquement en $a$ .

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