Écrire les expressions suivantes sous la forme a ⋅ cos ( x + φ ) avec a > 0 et φ ∈ [ − π ; π ] : f ( x ) = cos ( x ) − 3 sin ( x ) g ( x ) = 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) Méthode : a ⋅ cos ( x + φ ) = a ⋅ cos ( φ ) ⋅ cos ( x ) − a ⋅ sin ( φ ) ⋅ sin ( x ) . Identifier a ⋅ cos ( φ ) et a ⋅ sin ( φ ) .

Transformation en a·cos(x + φ)

Difficile

Énoncé

Écrire les expressions suivantes sous la forme $a \cdot cos (x + φ)$ avec $a > 0$ et $φ \in [- π; π]$ :

$f (x) = cos (x) - 3 sin (x)$
$g (x) = 2 cos (x) + 2 sin (x)$

Méthode : $a \cdot cos (x + φ) = a \cdot cos (φ) \cdot cos (x) - a \cdot sin (φ) \cdot sin (x)$ . Identifier $a \cdot cos (φ)$ et $a \cdot sin (φ)$ .

Indices

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1 Indice 1

Développe $a\cos(x+\varphi)=a\cos(\varphi)\cos(x)-a\sin(\varphi)\sin(x)$ et identifie les coefficients de $\cos x$ et $\sin x$ avec ceux de l'expression donnée.

2 Indice 2

Trouve $a$ en calculant $a^2=(a\cos\varphi)^2+(a\sin\varphi)^2$, puis trouve $\varphi$ à l'aide de $\cos\varphi$ et $\sin\varphi$ sur le cercle trigonométrique.

3 Indice 3

Pour $g(x)$, fais attention au signe : le coefficient de $\sin x$ dans le développement est $-a\sin\varphi$, donc identifie bien les signes avant de calculer $\varphi$.

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Développe $a cos (x + φ) = a cos (φ) cos (x) - a sin (φ) sin (x)$ et identifie les coefficients de $cos x$ et $sin x$ avec ceux de l'expression donnée.

Trouve $a$ en calculant $a^{2} = (a cos φ)^{2} + (a sin φ)^{2}$ , puis trouve $φ$ à l'aide de $cos φ$ et $sin φ$ sur le cercle trigonométrique.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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