Nature de nombres construits avec des radicaux Montrer que 1 + 2 1 × 1 − 3 1 ∈ Q . Montrer que 3 − 2 3 − 3 + 2 2 ∈ N . Montrer que ( 3 5 − 2 3 ) 2 + ( 3 1 + 3 ) 2 ∈ N .

Montrer qu'un nombre est rationnel ou entier

Difficile

Énoncé

Nature de nombres construits avec des radicaux

Montrer que $1 + \frac{1}{2} \times 1 - \frac{1}{3} \in Q$ .
Montrer que $\frac{3}{3 - 2} - \frac{2}{3 + 2} \in N$ .
Montrer que $(\frac{5 - 2 3}{3})^{2} + (\frac{1 + 3}{3})^{2} \in N$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, simplifie d'abord chaque expression sous la racine ($1+\\frac12$ et $1-\\frac13$), puis utilise $\\sqrt{a}\\times\\sqrt{b}=\\sqrt{ab}$.

2 Indice 2

Pour la question 2, mets les deux fractions au même dénominateur en utilisant $(\\sqrt3-\\sqrt2)(\\sqrt3+\\sqrt2)=3-2$.

3 Indice 3

Pour la question 3, développe chaque carré séparément, en repérant une identité remarquable sous la première racine avant de sommer.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, simplifie d'abord chaque expression sous la racine ( $1 + f r a c 12$ et $1 - f r a c 13$ ), puis utilise $s q r t a t im es s q r t b = s q r t ab$ .

Pour la question 2, mets les deux fractions au même dénominateur en utilisant $(s q r t 3 - s q r t 2) (s q r t 3 + s q r t 2) = 3 - 2$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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