Étude de deux nombres avec radicaux emboîtés On pose A = 4 − 7 − 4 + 7 et B = 4 − 7 + 4 + 7 . Déterminer le signe de A , puis montrer que A = − 2 . Simplifier B . On pose a = 4 − 7 et b = 4 + 7 . En déduire que a = 2 14 − 2 et b = 2 14 + 2 .

Radicaux emboîtés : calcul de A et B

Difficile

Énoncé

Étude de deux nombres avec radicaux emboîtés

On pose $A = 4 - 7 - 4 + 7$ et $B = 4 - 7 + 4 + 7$ .

Déterminer le signe de $A$ , puis montrer que $A = - 2$ .
Simplifier $B$ .
On pose $a = 4 - 7$ et $b = 4 + 7$ . En déduire que $a = \frac{14 - 2}{2}$ et $b = \frac{14 + 2}{2}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour trouver le signe de $A$, compare $4-\sqrt{7}$ et $4+\sqrt{7}$ : lequel des deux radicaux est le plus grand ?

2 Indice 2

Pour calculer $A$, élève au carré en utilisant $(u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$, avec $u=\sqrt{4-\sqrt7}$ et $v=\sqrt{4+\sqrt7}$ ; simplifie le produit $uv$ sous la racine.

3 Indice 3

Pour $a$ et $b$, remarque que $a-b=A$ et $a+b=B$ : additionne et soustrais ces deux relations pour isoler $a$ puis $b$.

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Pour trouver le signe de $A$ , compare $4 - 7$ et $4 + 7$ : lequel des deux radicaux est le plus grand ?

Pour calculer $A$ , élève au carré en utilisant $(u - v)^{2} = u^{2} - 2 uv + v^{2}$ , avec $u = 4 - 7$ et $v = 4 + 7$ ; simplifie le produit $uv$ sous la racine.

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