Une somme de fractions à radicaux Soit x un réel strictement positif. Montrer que x + x + 1 1 = x + 1 − x . On pose S = 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + ⋯ + 99 + 100 1 . Montrer que S ∈ N .

Somme télescopique avec quantités conjuguées

Difficile

Soit $x$ un réel strictement positif.

Montrer que $\frac{1}{x + x + 1} = x + 1 - x$ .
On pose $S = \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{2 + 3} + \dots + \frac{1}{99 + 100} .$ Montrer que $S \in N$ .

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1 Indice 1

Pour la question 1, multipliez numerateur et denominateur par la quantite conjuguee $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$.

2 Indice 2

Pour la question 2, appliquez le resultat de la question 1 a chaque terme de la somme avec $x = 1, 2, \ldots, 99$.

3 Indice 3

Observez que la somme obtenue est telescopique : la plupart des termes s'annulent deux a deux, ne laissant que le premier et le dernier.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, multipliez numerateur et denominateur par la quantite conjuguee $x + 1 - x$ .

Pour la question 2, appliquez le resultat de la question 1 a chaque terme de la somme avec $x = 1, 2, \dots, 99$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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